Celà posé, nous commencerons par une remarque sur la nature des quantités qui satisfont à l’équation
.
Si l’on désigne par
l’une de ses racines, il est clair que
en sera une autre. L’on aura donc une suite de racines exprimée par
. Le nombre des racines étant >
, soit
une des racines qui ne sont pas comprises dans cette suite,
sera une autre racine différente de
et des premières. Car, si l’on avait
on en déduirait
étant un nombre entier.
Prennant donc les deux suites
on trouvera pour la formule générale des racines de l’équation
, cette expression
![{\displaystyle \left(\left(p^{k}\right),\left(q^{l}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d62f6c82e9ddb7e0a884a8c00eafe454e0e8c4)
Celà posé, supposons que l’on donne à résoudre l’équation
,
étant impair et toujours de la forme
. Si
est une des racines, il est clair que toutes les autres seront
![{\displaystyle \left(x,(p)^{k},(q)^{l}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389277221e94c4257341b27ce43df94b43e41c9d)
Posons donc en général
![{\displaystyle (x,(p)^{k},(q)^{l})=x_{k,l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4ae46b1905aa5df7557515a3c704246776d6fa)
en faisant
, nous en déduirons généralement
![{\displaystyle (x_{2a+b,2c+d}-x_{a+b,c+d})=\left(x_{a+b,c+d}-x_{b,d}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6c97a2687adbbb504b6bbe21fac631952b0ca7)
d’où
![{\displaystyle (x_{2a+b,2c+d}=\left((x_{a+b,c+d})^{2},x_{b,d}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103e09943c7c9d3a1534009a2f13605dda9d4391)
Or il est aisé de tirer de cette égalité une expression rationnelle de
en fonction de
et de
. Car si
est l’arc correspondant à l’un quelconque des sinus qui satisfont à l’équation
pour avoir
en fonction de
, il suffit de chercher le plus grand commun diviseur entre les équations
et
étant le cosinus de la transcendante
fois plus grande que celle dont le cosinus est
. On trouverait de même
en fonction rationnelle de
.
On pourra donc, par les formules connues, exprimer
![{\displaystyle x_{2a+b,2c+d}=f(x_{a+b,c+d},x_{b,d})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084499405d19f6fd1901aad8442fe4cd97c65fed)
en fonction rationnelle de
et de ![{\displaystyle x_{b,d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36750c87a9faa05e87d8b8ec9439d10f9e4a3e21)