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dérivées partielles du premier ordre, quelques calculs, avec un commencement de rédaction, sur les intégrales eulériennes^[1], huit lignes, dont plusieurs mots sont déchirés, qui paraissent se rapporter au groupe alterné et n’avoir pas grand intérêt, un cahier dont la plupart des pages sont blanches et dont je dirai tout à l’heure deux mots, enfin une vingtaine de lignes sur le théorème d’Abel.

1. En posant
   $[m,n]=\int _{0}^{1}(1-x)^{m-1}x^{n-1}\,\mathrm {d} x$,

   
   Galois part de la relation

   $[m+1,n]={\frac {m}{m+n}}[m,n]$ ;

   
   il en déduit, en désignant par p un nombre entier positif quelconque,

   $[m,n]={\frac {[p,m]}{[p,m+n]}}[m+p,n]$,

   
   puis

   $[m,n]=\lim _{p\to \infty }{\frac {[p,m]\times [p,n]}{[p,m+n]}}$ ;

   
   en remplaçant $[p,n]$ par ${\frac {1}{p^{n}}}\int _{0}^{p}\left(1-{\frac {x}{p}}\right)^{p-1}x^{n-1}\,\mathrm {d} x$, et en passant à la limite, il obtient

   $[m,n]={\frac {\Gamma m\Gamma n}{\Gamma (m+n)}}$.

   
   Il établit ensuite la relation

   $\int _{0}^{1}{\frac {x^{n-1}-1}{x-1}}\,\mathrm {d} x=\varphi (n)-\varphi (1)$,

   
   où

   $\varphi (n)={\frac {d\log \Gamma (n)}{dn}}$,

   
   en partant de ce que l’on a, pour $m=1$,

   ${\frac {d\log[m,n]}{dm}}={\frac {\int _{0}^{1}\log(1-x)x^{n-1}\,\mathrm {d} x}{\int _{0}^{1}x^{n-1}\,\mathrm {d} x}}=\int _{0}^{1}\log(1-x)nx^{n-1}\,\mathrm {d} x$,

   
   d’où, en intégrant le dernier membre par parties,

   $\varphi (1)-\varphi (n+1)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}-1}{x-1}}|mathrmdx$.