choisir une certaine racine d’un nombre entier, et regarder comme rationnelle toute fonction rationnelle de ce radical.
Lorsque nous conviendrons de regarder ainsi comme connues de certaines quantités nous dirons que nous les adjoignons à l’équation qu’il s’agit de résoudre. Nous dirons que ces quantités sont adjointes à l’équation.
Cela posé, nous appellerons rationnelle toute quantité qui s’exprimera en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et d’un certain nombre de quantités adjointes à l’équation et convenues arbitrairement.
Quand nous nous servirons d’équations auxiliaires, elles seront rationnelles, si leurs coefficients sont rationnels en notre sens.
On voit, au surplus, que les propriétés et les difficultés d’une équation peuvent être tout à fait différentes suivant les quantités qui lui sont adjointes. Par exemple, l’adjonction d’une quantité peut rendre réductible une équation irréductible.
Ainsi, quand on adjoint à l’équation
où est premier, une racine d’une des équations auxiliaires de M. Gauss, cette équation se décompose en facteurs et devient, par conséquent, réductible.
Les substitutions sont le passage d’une permutation à l’autre.
La permutation d’où l’on part pour indiquer les substitutions est toute arbitraire, quand il s’agit de fonctions ; car il n’y a aucune raison pour que, dans une fonction de plusieurs lettres, une lettre occupe un rang plutôt qu’un autre.
Cependant, comme on ne peut guère se former l’idée d’une substitution sans se former celle d’une permutation, nous ferons, dans le langage, un emploi fréquent des permutations, et nous ne considérerons les substitutions que comme le passage d’une permutation à une autre.
Quand nous voudrons grouper des substitutions, nous les ferons toutes provenir d’une même permutation.
Comme il s’agit toujours de questions où la disposition primitive des lettres n’influe en rien dans les groupes que nous considérerons, on devra avoir les mêmes substitutions, quelle que soit
