et l’on aura toutes les imaginaires de la forme
,
en élevant à toutes les puissances et réduisant par l’équation ().
Le principal avantage de la nouvelle théorie que nous venons d’exposer est de ramener les congruences à la propriété (si utile dans les équations ordinaires), d’admettre précisément autant de racines qu’il y a d’unités dans l’ordre de leur degré.
La méthode pour avoir toutes ces racines sera très simple. Premièrement, on pourra toujours préparer la congruence donnée de manière qu’elle n’ait plus de racines égales, ou, en d’autres termes, qu’elle n’ait plus de facteur commun avec , et le moyen de le faire est évidemment le même que pour les équations ordinaires.
Ensuite, pour avoir les solutions entières, il suffira, ainsi que M. Libri paraît en avoir fait le premier la remarque, de chercher le plus grand facteur commun à et à .
Si maintenant on veut avoir les solutions imaginaires du second degré, on cherchera le plus grand facteur commun à et à , et, en général, les solutions de l’ordre seront données par le plus grand commun diviseur à et à .
C’est surtout dans la théorie des permutations, où l’on a sans cesse besoin de varier la forme des indices, que la considération des racines imaginaires des congruences paraît indispensable. Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux, comme je vais essayer d’en donner en deux mots une idée.
Soit une équation algébrique , de degré ; supposons que les racines soient désignées par , en donnant à l’indice les valeurs déterminées par la congruence .
Prenons une fonction quelconque rationnelle des racines . Transformons cette fonction en substituant partout à l’indice l’indice , étant des constantes arbitraires satisfaisant aux conditions de , et de entier.
En donnant aux constantes toutes les valeurs dont elles sont susceptibles, on obtiendra en tout manières de
