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en posant simplement $x=a+a_{1}i$, au lieu de $a+a_{1}i+a_{2}i^{2}$ ; nous devrons avoir

$(a+a_{1}i)^{19}=1$

ce qui, en développant par la formule de Newton, et réduisant les puissances de $a$, de $a_{1}$, et de $i$, par les formules

$a^{m(p-1)}=1,\quad a_{1}^{m(p-1)}=1,\quad i^{3}=2,$

se réduit à

$3[a-a^{4}a_{1}^{3}+(a^{5}a_{1}^{2}+a^{2}a_{1}^{5})i^{2}]=1,$

d’où en séparant,

$3a-3a^{4}a_{1}^{3}=1,\quad a^{5}a_{1}^{2}+a^{2}a_{1}^{5}=0$

Ces deux dernières équations sont satisfaites en posant $a=-1.\,a_{1}=1.$ Donc

$-1+i$

est une racine primitive de $x^{19}=1$. Nous avons trouvé plus haut, pour racines primitives de $x^{2}=1$ et de $x^{3^{2}}=1$, les valeurs $-1$ et $i;$ il ne reste plus qu’à multiplier entre elles les trois quantités

$-1,\,i,\,-1+i,$

et le produit $i-i^{2}$ sera une racine primitive de la congruence

$x^{7^{3}-1}=1.$

Donc ici l’expression $i-i^{2}$ jouit de la propriété que, en l’élevant à toutes les puissances, on obtiendra $7^{3}-1$ expressions différentes et de la forme

$a+a_{1}i+a_{2}i^{2}$

Si nous voulons avoir la congruence de moindre degré d’où dépend notre racine primitive, il faut éliminer $i$ entre les deux équations

$i^{3}=2,\quad \alpha =i-i^{2}.$

On obtient ainsi

$\alpha ^{3}-\alpha +2=0.$

Il sera convenable de prendre pour base des imaginaires et de représenter par $i$ la racine de cette équation, en sorte que

($i$)

$i^{2}-i+2=0,$