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Cette proposition, énoncée algébriquement, est celle-ci : Étant donnés une fonction et un nombre premier , on peut poser


et étant des fonctions entières, toutes les fois que la congruence sera irréductible.

Si l’on veut avoir toutes les racines d’une pareille congruence au moyen d’une seule, il suffit d’observer que l’on a généralement


et que, par conséquent, l’une des racines étant , les autres seront

 ([1]).

Il s’agit maintenant de faire voir que, réciproquement à ce que nous venons de dire, les racines de l’équation ou de la congruence dépendront toutes d’une seule congruence du degré .

Soit en effet une racine d’une congruence irréductible et telle que toutes les racines de la congruence soient fonctions rationnelles de (Il est clair qu’ici, comme dans les équations ordinaires, cette propriété a lieu) ([2]).

  1. De ce que les racines de la congruence irréductible de degré
    sont exprimés par la suite

    on aurait tort de conclure que ces racines soient toujours des quantités exprimables par radicaux. Voici un exemple du contraire :

    La congruence irréductible

    donne

    qui se réduit à

    formule qui n’apprend rien.
  2. La proposition générale dont il s’agit ici peut s’énoncer ainsi : Étant donnée une équation algébrique, on pourra trouver une fonction rationnelle de toutes ses racines, de telle sorte que, réciproquement, chacune des racines s’exprime rationnellement en . Ce théorème était connu d’Abel, ainsi qu’on peut le voir par la première Partie du Mémoire que ce célèbre géomètre a laissé sur les fonctions elliptiques.
E. G.
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