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Mais cette méthode a l’inconvénient d’exiger, à chaque opération, l’extraction d’une racine $n$^ième. Voici deux formes plus commodes. Cherchons un nombre $k$ tel que la fonction

$x+{\frac {\mathrm {F} x}{kx^{n}}}$

croisse avec $x$, quand $x>1$. (Il suffit, en effet, de savoir trouver les racines d’une équation qui sont plus grandes que l’unité.)

Nous aurons, pour la condition proposée,

$1+{\frac {d{\frac {\mathrm {X} -\mathrm {Y} }{kx^{n}}}}{dx}}>0,\quad {\text{ou bien}}\quad 1-{\frac {n\mathrm {X} -x\mathrm {X} '}{kx^{n+1}}}+{\frac {n\mathrm {Y} -x\mathrm {Y} '}{kx^{n+1}}}>0;$

or on a identiquement

$n\mathrm {X} -x\mathrm {X} '>0,\quad n\mathrm {Y} -x\mathrm {Y} '>0;$

il suffit donc de poser

${\frac {n\mathrm {X} -x\mathrm {X} '}{kx^{n+1}}}<1\quad {\text{pour}}\quad x>1,$

et il suffit, pour cela, de prendre pour $k$ la valeur de la fonction $n\mathrm {X} -x\mathrm {X} ',$ relative à $x=1$.

On trouvera de même un nombre $h$ tel que la fonction

$x-{\frac {\mathrm {F} x}{hx^{n}}}$

croîtra avec $x$, quand $x$ sera $>1$, en changeant $\mathrm {Y}$ en $\mathrm {X}$.

Ainsi, l’équation donnée pourra se mettre sous l’une des formes

$x=x+{\frac {\mathrm {F} x}{kx^{n}}},\quad x=x-{\frac {\mathrm {F} x}{hx^{n}}},$

qui sont toutes deux rationnelles et donnent pour la résolution une méthode facile.

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