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NOTES
sur
QUELQUES POINTS D’ANALYSE ([1]).
§ I. — Démonstration d’un théorème d’Analyse.
Théorème. — Soient
et
deux fonctions quelconques données ; on aura, quels que soient
et
,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75a089652d8edddb378cf70995c4bb865c7580a)
étant une fonction déterminée, et
une quantité intermédiaire entre
et
.
Démonstration. — Posons, en effet,
on en déduira
d’où l’on voit que la fonction
ne change pas quand on y change
en
; d’où il suit qu’à moins qu’elle ne reste constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans des cas particuliers, cette fonction aura, entre
et
, un ou plusieurs maxima et minima. Soit
la valeur de
répondant à l’un d’eux ; on aura évidemment
,
étant une fonction déterminée ; donc on doit avoir aussi
,
étant une autre fonction également déterminée ; ce qui démontre le théorème.
De là on peut conclure, comme corollaire, que la quantité
![{\displaystyle \operatorname {lim.} {\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cf6d626fc30ecac64fb526311326fb5de41e58)
pour
, est nécessairement une fonction de
, ce qui démontre, a priori, l’existence des fonctions dérivées.
- ↑ Annales de Mathématiques de M. Gergonne, tome XXI, page 182 (1830-1831). C’est par suite d’une faute d’impression qu’on y lit : Galais, élève à l’École normale, au lieu de Galois. (J. Liouville.)