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THÉORIE DE LA CHALEUR.

deux sections infiniment voisines placées aux distances $x$ et $x+dx,$ doit être assimilée à un solide infini, terminé par deux plans parallèles, assujétis à des températures fixes $v$ et $v+dv,$ puisque, selon l’hypothèse, la température ne varie pas dans toute l’étendue d’une même section. L’épaisseur du solide est $dx,$ et l’étendue de la section est $4l^{2}\,:$ donc, la quantité de chaleur qui s’écoule uniformément, pendant l’unité de temps, à travers une section de ce solide, est, d’après les principes précédents, $-4l^{2}k{\tfrac {dv}{dx}},$ $k$ étant la conducibilité spécifique intérieure ; on doit donc avoir l’équation $\textstyle -4l^{2}k.{\frac {dv}{dx}}=\mathrm {C} -\int 8\,h\,l\,v\,dx,$ ou $\textstyle kl{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=2hv.$

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On obtiendrait le même résultat, en considérant l’équilibre de la chaleur dans la seule tranche infiniment petite, comprise entre les deux sections dont les distances sont $x$ et $x+dx.$ En effet, la quantité de chaleur qui, pendant l’unité de temps, traverse la première section placée à la distance $x,$ est $\textstyle -4l^{2}k{\frac {dv}{dx}}.$ Pour trouver celle qui s’écoule pendant le même temps, à travers la section suivante placée à la distance $x+dx,$ il faut, dans l’expression précédente, changer $x$ en $x+dx,$ ce qui donne $\textstyle -4l^{2}k\left({\frac {dv}{dx}}+d\left({\frac {dv}{dx}}\right)\right).$ Si l’on retranche cette seconde expression de la première, on connaîtra combien la tranche que terminent les deux sections, acquiert de chaleur pendant l’unité de temps ; et puisque l’état de cette tranche est permanent, il faudra que toute cette chaleur acquise soit égale à celle qui se dissipe dans l’air à travers la surface extérieure $8\,l\,dx$ de cette même