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CHAPITRE IX.

nulle, il suffirait de prendre l’intégrale $\textstyle \int \left(d\alpha \,\sin .(\mu _{i}\alpha ).\alpha \,\mathrm {F} \alpha \right),$ entre deux limites extrêmement voisines, $\alpha =r$ et $\alpha =r+u,$ $r$ étant le rayon de la surface intérieure de la couche échauffée, et $u$ l’épaisseur de cette couche.

On peut aussi considérer séparément l’effet résultant de l’échauffement initial d’une autre couche comprise entre les limites $r+u$ et $r+2u\,;$ et si l’on ajoute la température variable due à cette seconde cause à la température que l’on avait d’abord trouvée lorsque la première couche était seule échauffée, la somme des deux températures est celle qui aurait lieu, si les deux couches étaient échauffées à la fois. Il suffirait, pour avoir égard aux deux causes réunies, de prendre l’intégrale $\textstyle \int d\alpha \left(\sin .(\mu _{i}\alpha )\alpha \,\mathrm {F} \alpha \right),$ entre les limites $\alpha =r$ et $\alpha =r+2u.$ Plus généralement, l’équation (E) pouvant être mise sous cette forme :

$v=\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(d\alpha .\alpha \,\mathrm {F} \alpha .\sin .(\mu _{i}\alpha )\;\cdot \;\sum {\frac {\sin .(\mu _{i}x).e^{-\mathrm {K} \mu _{i}^{2}t}}{x.\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(d\beta \,\sin .(\mu _{i}\beta )\sin .(\mu _{i}\beta )\right)}}\right).$

On reconnaît que l’effet total de l’échauffement des différentes couches est la somme des effets partiels que l’on déterminerait séparément, en supposant que chacune des couches a été seule échauffée. La même conséquence s’étend à toutes les autres questions de la théorie de la chaleur ; elle dérive de la nature même des équations, et la forme des intégrales la rend manifeste. On voit que la chaleur contenue dans chaque élément d’un corps solide produit son effet distinct, comme si cet élément avait été seul échauffé, tous les autres ayant une température initiale nulle. Ces divers états