Il faut dans le second membre donner à toutes ses valeurs, c’est-à-dire, mettre successivement, au lieu de toutes les racines de l’équation L’intégrale doit être prise pour depuis jusqu’à ce qui fait disparaître l’indéterminée Il en est de même de qui entre dans le dénominateur ; en sorte que le terme est multiplié par un coëfficient dont la valeur ne dépend que de et de l’indice Le signe indique qu’après avoir donné à ses différentes valeurs, il faut écrire la somme de tous les termes.
L’intégration offre donc un moyen très-simple de déterminer immédiatement les coëfficients ; mais il faut examiner attentivement l’origine de ce procédé, ce qui donne lieu aux deux remarques suivantes :
1o Si dans l’équation on avait omis d’écrire une partie des termes, par exemple, tous ceux où l’indice est un nombre pair, on trouverait encore, en multipliant l’équation par et intégrant depuis jusqu’à cette même valeur de qui a été déterminée précédemment, et l’on formerait ainsi une équation qui ne serait point vraie ; car elle ne contiendrait qu’une partie des termes de l’équation générale, savoir, ceux dont l’indice est impair.
2o L’équation complète que l’on obtient, après avoir déterminé les coëfficients, et qui ne diffère point de l’équation rapportée page 350, art. 291, dans laquelle on ferait et est telle que si l’on donne à une valeur quelconque comprise entre 0 et les deux membres sont nécessairement égaux ; mais on ne peut point conclure,
