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THÉORIE DE LA CHALEUR.

mouvement varié de la chaleur dans un corps cylindrique (art. 308, pag. 372 et 373). Cela posé, la question consiste à trouver pour $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$ $\dots a_{i},$ etc., des valeurs numériques telles que le second membre de l’équation $(e)$ devienne nécessairement égal a $x\mathrm {F} x,$ lorsqu’on y mettra pour $x$ une valeur quelconque comprise entre 0 et la longueur totale $\mathrm {X} .$

Pour trouver le coëfficient $a_{i},$ nous avons multiplié l’équation $(e)$ par $dx\,sin.(\mu _{i}x),$ et ensuite intégré entre les limites $x=0,$ $x=\mathrm {X} ,$ et nous avons démontré, pag. 349, que l’intégrale

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\,\sin .(\mu _{i}x)\,\sin .(\mu _{j}x)$

a une valeur nulle toutes les fois que les indices $i$ et $j$ ne sont point les mêmes ; c’est-à-dire lorsque les nombres $\mu _{i}$ et $\mu _{j}$ sont deux racines différentes de l’équation $(f).$ Il suit de là, que l’intégration définie faisant disparaître tous les termes du second membre, excepté celui qui contient $a_{i},$ on a, pour déterminer ce coëfficient, l’équation

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\left(\sin .(\mu _{i}x)x\mathrm {F} (x)\right)=a_{i}\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\left(\sin .(\mu _{i}x)\sin .(\mu _{j}x)\right).$

Mettant cette valeur du coëfficient =a_i dans l’équation $(e),$ on en conclut l’équation identique $(\varepsilon )\,:$

$x\mathrm {F} x=\sum \sin .(\mu _{i}x){\frac {\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(d\alpha .\alpha \mathrm {F} \alpha .\sin .(\mu _{i}\alpha )\right)}{\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(d\beta .\sin .(\mu _{i}\beta ).\sin .(\mu _{i}\beta )\right)}}\cdot \quad ({\boldsymbol {\varepsilon }})$