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CHAPITRE IX.

Afin de donner à cet examen un objet plus déterminé, nous choisirons pour exemple une des questions les plus importantes, savoir celle du mouvement varié de la chaleur dans la sphère solide. On a vu, art. 290, pag. 348, que, pour satisfaire à la distribution initiale de la chaleur, il faut déterminer les coëfficients

$a_{1},\quad a_{2},\quad a_{3},\;\dots \;a_{i},$

dans l’équation

$x\mathrm {F} x=a_{1}\sin .(\mu _{1}x)+a_{2}\sin .(\mu _{2}x)+a_{3}\sin .(\mu _{3}x)+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {e}})$

La fonction $\mathrm {F} x$ est entièrement arbitraire : elle désigne la valeur $v$ de la température initiale et donnée de la couche sphérique dont le rayon est $x.$ Les nombres $\mu _{1},$ $\mu _{2},$ $dots\,\mu _{i},$ sont les racines $\mu$ de l’équation transcendante

${\frac {\mu \mathrm {X} }{\mathrm {tang.} \mu \mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} .\qquad ({\boldsymbol {f}})$

$\mathrm {X}$ est le rayon total de la sphère ; $h$ est un coëfficient numérique connu d’une valeur positive quelconque. Nous avons prouvé rigoureusement, dans nos premières recherches, que toutes les valeurs de $\mu$ ou les racines de l’équation $(f)$ sont réelles. Cette démonstration est déduite de la théorie générale des équations, et n’exige point que l’on suppose connue la forme des racines imaginaires que toute équation peut avoir. Nous ne l’avons point rappelée dans cet ouvrage, parce qu’elle est suppléée par des constructions qui rendent la proposition plus sensible. Au reste, nous avons traité cette même question par l’analyse, en déterminant le