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CHAPITRE IX.

ne s’applique pas seulement à la fonction trigonométrique ${\frac {\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}}\,;$ elle convient à toutes les autres fonctions, et suppose seulement que le nombre $p$ devenant infini, on trouve la valeur de l’intégrale par rapport à $\alpha ,$ en prenant cette intégrale entre des limites extrêmement voisines. Or cette condition n’appartient pas seulement aux fonctions trigonométriques, elle s’applique à une infinité d’autres fonctions. On parvient ainsi à exprimer une fonction arbitraire $fx$ sous diverses formes très-remarquables ; mais nous ne faisons point usage de ces transformations dans la recherche spéciale qui nous occupe.

Quant à la proposition exprimée par l’équation (A) (art. 418), il est également facile d’en rendre la vérité sensible par des constructions, et c’est pour ce théorème que nous les avons d’abord employées. Il suffira d’indiquer la marche de la démonstration.

Dans l’équation (A), savoir :

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\mathrm {X} }^{+\mathrm {X} }d\alpha \,f\alpha \sum \limits _{-\infty }^{+\infty }\cos .\left(i\cdot {\frac {2\pi }{\mathrm {X} }}\cdot {\overline {\alpha -x}}\right)\,;$

on remplacera la somme des termes placés sous le signe $\textstyle \sum$ par sa valeur, qui se déduit de théorèmes connus. Nous avons vu précédemment divers exemples de ce calcul, Section III, Chap. III. Il donne ce résultat en supposant, pour rendre l’expression plus simple, $2\pi =\mathrm {X} ,$ et désignant $\alpha -x$ par $r,$

$\sum \limits _{-j}^{+j}\cos .(jr)=\cos .(jr)+\sin .(jr){\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}}\cdot$