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CHAPITRE IX.

valle $\mathrm {X}$ est infini : alors les limites $a$ et $b$ sont évidemment des constantes entièrement arbitraires.

419.

Le théorème exprimé par l’équation (B) offre aussi diverses applications analytiques, que nous ne pourrions exposer sans nous écarter de l’objet de cet ouvrage ; mais nous énoncerons le principe dont ces applications dérivent.

On voit que, dans le second membre de l’équation

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{a}^{b}d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ),\quad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

la fonction $fx$ est tellement transformée, que le signe de fonction $f$ n’affecte plus la variable $x,$ mais une variable auxiliaire $\alpha .$ La variable $x$ est seulement affectée du signe cosinus. Il suit de là que, pour différencier la fonction $fx$ par rapport à $x,$ autant de fois que l’on voudra, il suffira de différencier le second membre par rapport à $x$ sous le signe cosinus. On aura donc, en désignant par $i$ un nombre entier quelconque,

${\frac {d^{2i}}{dx^{2i}}}fx=\pm {\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,p^{2i}\,\cos .(px-p\alpha ).$

On écrit le signe supérieur lorsque $i$ est pair, et le signe inférieur lorsque $i$ est impair. On aura en suivant cette même règle relative au choix du signe :

${\frac {d^{(2i+1)}}{dx^{(2i+1)}}}fx=\mp {\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,p^{2i+1}\,\sin .(px-p\alpha ).$

On peut aussi intégrer plusieurs fois de suite, par rapport à $x,$ le second membre de l’équation (B) ; il suffit d’é-