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CHAPITRE IX.

niment voisins, l’un à gauche, l’autre à droite de celui où $\alpha -x$ est nul, c’est-à-dire depuis $\alpha =x-\omega$ jusqu’à $\alpha =x+\omega ,$ en désignant par $\omega$ une quantité infiniment petite. Or, dans cet intervalle, la fonction $f\alpha$ ne varie point, elle est égale à $fx,$ et peut être mise hors du signe d’intégration. Donc la valeur de l’expression est le produit de $f(x)$ par

$\int d\alpha \,\cdot {\frac {\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}},$

prise entre les limites $\alpha -x=-\omega ,$ et $\alpha -x=\omega .$

Or cette intégrale est égale à $\pi ,$ comme on l’a vu dans l’article précédent ; donc l’intégrale définie est égale à $\pi \,fx,$ d’où l’on conclut l’équation

$fx={\frac {1}{2\pi }}\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \,f\alpha {\frac {2.\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}}={\frac {1}{2\pi }}\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \,f\alpha \!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\cdot \;\;({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

417.

La démonstration précédente suppose la notion des quantités infinies, telle qu’elle a toujours été admise par les géomètres. Il serait facile de présenter la même démonstration sous une autre forme, en examinant les changements qui résultent de l’accroissement continuel du facteur $p$ sous le signe $\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)\cdot$ Ces considérations sont trop connues pour qu’il soit nécessaire de les rappeler.

Il faut sur-tout remarquer que la fonction $fx,$ à laquelle cette démonstration s’applique, est entièrement arbitraire, et non assujettie à une loi continue. On pourrait donc concevoir qu’il s’agit d’une fonction telle, que l’ordonnée qui la représente n’a de valeurs subsistantes que si l’abscisse $x$ est comprise entre deux limites données, $a$ et $b\,;$ toutes les