Supposons maintenant que le nombre devienne de plus en plus grand, et qu’il croisse sans limite, c’est-à-dire qu’il soit infini. Les sinuosités de la courbe dont est l’ordonnée sont infiniment voisines. Leur base est une longueur infiniment petite égale à Cela étant, si l’on compare l’aire positive qui repose sur un de ces intervalles à l’aire négative qui repose sur l’intervalle suivant, et si l’on désigne par l’abscisse finie et assez grande qui répond au commencement du premier arc, on voit que l’abscisse qui entre comme dénominateur dans l’expression de l’ordonnée, n’a aucune variation sensible dans le double intervalle qui sert de base aux deux aires. Par conséquent, l’intégrale est la même que si était une quantité constante. Il s’ensuit que la somme des deux aires qui se succèdent est nulle.
Il n’en est pas de même lorsque la valeur de est infiniment petite, parce que l’intervalle a dans ce cas un rapport fini avec la valeur de On connaît par là que l’intégrale dans laquelle on suppose un nombre infini, est entièrement formée de la somme de ses premiers termes qui répondent à des valeurs extrêmement petites de Lorsque l’abscisse a une valeur finie l’aire ne varie plus, parce que les parties qui la composent se détruisent deux à deux alternativement. Nous exprimons ce résultat en écrivant
