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CHAPITRE IX.

Si l’on construit au-dessus de l’axe des $x$ la ligne dont l’ordonnée est $\sin .x,$ et celle dont l’ordonnée est ${\frac {1}{x}},$ et qu’ensuite on multiplie l’ordonnée de la première ligne par l’ordonnée correspondante de la seconde, on considérera le produit comme l’ordonnée d’une troisième ligne dont il est très-facile de connaître la forme.

Sa première ordonnée à l’origine est 1, et les ordonnées suivantes deviennent alternativement positives ou négatives ; la courbe coupe l’axe aux points où $x=\pi ,$ $2\pi ,$ $3\pi ,$ $4\pi ,$ etc., et elle se rapproche de plus en plus de cet axe. Une seconde branche de la courbe, entièrement semblable à la première, est située à la gauche de l’axe des $y.$ L’intégrale $\int \limits _{0}^{+\infty }dx\cdot {\frac {\sin .x}{x}}$ est l’aire comprise entre la courbe et l’axe des $x,$ et comptée depuis $x=0$ jusqu’à une valeur positive infinie de $x.$

L’intégrale définie $\int \limits _{0}^{+\infty }dx\cdot {\frac {\sin .(px)}{x}},$ dans laquelle $p$ est supposé un nombre positif quelconque, a la même valeur que la précédente. En effet, soit $px=z\,;$ l’intégrale proposée deviendra $\int \limits _{0}^{+\infty }dz\cdot {\frac {\sin .z}{z}},$ et, par conséquent, elle équivaut aussi à ${\tfrac {1}{2}}\pi .$ Cette proposition est vraie, quel que soit le nombre positif $p.$ Si l’on suppose, par exemple, $p=10,$ la courbe dont l’ordonnée est ${\frac {\sin .(10\,x)}{x}}$ a des sinuosités beaucoup plus rapprochées et plus courtes que celles dont l’ordonnée est ${\frac {\sin .x}{x}}\,;$ mais l’aire totale depuis $x=0$ jusqu’à $x={\tfrac {1}{0}}$ est la même.