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THÉORIE DE LA CHALEUR.

et ${\frac {dy}{dx}},$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},$ soient nulles, on trouve, pour la somme de la série,

$y=\left(e^{x{\sqrt {2p}}}+e^{-x{\sqrt {2p}}}\right)\cos .\left(x{\sqrt {2p}}\right).$

Il serait inutile de rapporter le détail de ce calcul ; il suffit d’en énoncer le résultat, qui donne pour l’intégrale cherchée,

${\begin{aligned}v={\frac {2}{\pi }}\int d\alpha \,f\alpha &\int dq.q\left\{\cos .\left(2q^{2}{\overline {t-\alpha }}\right)\left(e^{qx}+e^{-qx}\right)\cos .qx\right.\\&\left.-\sin .\left(2q^{2}{\overline {t-\alpha }}\right)\left(e^{qx}-e^{-qx}\right)\sin .qx\right\}+\mathrm {W} .\quad ({\boldsymbol {\beta \beta }})\\\end{aligned}}$

Le terme $\mathrm {W}$ est la seconde partie de l’intégrale ; on le forme en intégrant la première partie par rapport à $x,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=x,$ et en changeant $f$ en $\mathrm {F} .$ Sous cette forme l’intégrale contient deux fonctions entièrement arbitraires, $ft$ et $\mathrm {F} t.$ Si, dans la valeur de $v,$ on suppose $x$ nulle, le terme $\mathrm {W}$ devient nul par hypothèse, et la première partie $u$ de l’intégrale devient $ft.$ Si l’on fait la même substitution $x=0$ dans la valeur de ${\frac {dv}{dx}},$ il est évident que la première partie ${\frac {du}{dx}}$ deviendra nulle, et que la seconde, ${\frac {d\mathrm {W} }{dx}},$ qui ne diffère de la première que par la fonction $\mathrm {F}$ placée au lieu de $f,$ se réduira à $\mathrm {F} t.$ Ainsi l’intégrale exprimée par l’équation $(\beta \beta )$ satisfait à toutes les conditions, et elle représente la somme des deux séries qui forment le second membre de l’équation (X).

C’est cette forme de l’intégrale qu’il est nécessaire de choisir dans plusieurs questions de la théorie de la chaleur ;