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CHAPITRE IX.

fasse à la proposée $(e)$ et aux deux conditions suivantes, savoir, 1^o que la substitution de $t=0$ donne $f(x,y,t)$ donne une fonction arbitraire $\varphi (x,y)\,;$ que la même substitution dans ${\frac {d}{dt}}f(x,y,t)$ donne une seconde fonction arbitraire $\psi (x,y).$

Il suit évidemment de la forme de l’équation $(e),$ et des principes que nous avons exposés plus haut, que la fonction $v,$ étant déterminée en sorte qu’elle satisfasse aux conditions précédentes, sera l’intégrale complète de la proposée. Pour découvrir cette fonction on écrira d’abord

$v=\cos .(px)\,\cos .(qy)\,\cos .(mt),$

d’où l’on tire

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-m^{2}v,\quad {\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=p^{4}v,\quad {\frac {d^{4}v}{dx^{2}dy^{2}}}=p^{2}q^{2}v,\quad {\frac {d^{4}v}{dy^{4}}}=q^{4}v\cdot$

On a donc la condition $m=p^{2}+q^{2}.$ Ainsi l’on écrira

${\begin{aligned}v&=\cos .px.\cos .qy.\cos .\left(t.{\overline {p^{2}+q^{2}}}\right)\\\mathrm {ou} \quad v&=\cos .\left(p.{\overline {x-\alpha }}\right)\,\cos .\left(q.{\overline {y-\beta }}\right)\,\cos .\left(t.{\overline {p^{2}+q^{2}}}\right)\\\mathrm {ou} \quad v&=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\int dp\int dq\\&\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .(p^{2}t+q^{2}t).\end{aligned}}$

Lorsqu’on fait $t=0,$ on doit avoir $v=\varphi (x,y)\,;$ ce qui sert à déterminer la fonction $\mathrm {F} (\alpha ,\beta ).$ Si l’on compare à l’équation générale (BB), on trouve que, les intégrales étant prises entre des limites infinies, la valeur de $\mathrm {F} (\alpha ,\beta )$ est $\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\varphi (\alpha ,\beta ).$ On aura donc, pour exprimer une première partie $u$ de l’intégrale,

$u=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\!\int \!d\alpha \!\int \!d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\!\int \!dp\!\int \!dq\,\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .(p^{2}t+q^{2}t).$