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THÉORIE DE LA CHALEUR.

et, en comparant à l’équation (BB), on voit que

$\mathrm {F} (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\varphi (\alpha ,\beta ).$

On aura donc, pour l’expression d’une première partie de l’intégrale :

${\begin{aligned}u&=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\int d\alpha \int d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\\&\!\int \!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\int \!dq\,\cos .(qy-q\beta )\left(e^{z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}+e^{-z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Cette valeur de $u$ se réduit à $\varphi (x,y)$ lorsque $z=0,$ et la même substitution rend nulle la valeur de ${\frac {du}{dz}}\cdot$

On pourrait aussi intégrer par rapport à $z$ la valeur de $u,$ et l’on donnerait à l’intégrale la forme suivante dans laquelle $\psi$ est une nouvelle fonction arbitraire :

${\begin{aligned}\mathrm {W} &=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\int d\alpha \int d\beta \,\psi (\alpha ,\beta )\\&\!\int \!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\int \!dq\,\cos .(qy-q\beta )\left({\frac {e^{z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}-e^{-z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

La valeur de $\mathrm {W}$ devient nulle lorsque $z=0,$ et la même substitution rend la fonction ${\frac {d\mathrm {W} }{dz}}$ égale à $\psi (x,y).$ Donc l’intégrale générale de la proposée est $v=u+\mathrm {W} .$

411.

Enfin, soit l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dy^{4}}}=0\,:\qquad ({\boldsymbol {e}})$

on veut connaître pour $v$ une fonction $f(x,y,t),$ qui satis-