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CHAPITRE IX.

Il suffirait d’introduire un nouveau facteur

${\frac {1}{2\pi }}\,\cos .(rz-r\gamma ),$

et d’intégrer par rapport à $r$ et $\gamma .$

410.

Soit l’équation proposée ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}=0\,;$ il s’agit d’exprimer $v$ en une fonction $f(x,y,z),$ telle, 1^o que $f(x,y,0)$ soit une fonction arbitraire $\varphi (x,y)\,;$ 2^o qu’en faisant $z=0$ dans la fonction ${\frac {d}{dz}}f(x,y,z),$ on trouve une seconde fonction arbitraire $\psi (x,y).$ Il suit évidemment de la forme de l’équation différentielle, que la fonction ainsi déterminée sera l’intégrale complète de la proposée. Pour connaître cette fonction, on remarquera d’abord que l’on satisfait a l’équation en écrivant $v=\cos .px.\cos .qy.e^{mz},$ les exposants $p$ et $q$ étant des nombres quelconques, et la valeur de $m$ étant $\pm {\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\cdot$

On pourrait donc aussi écrire

${\begin{aligned}v&=\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\left(e^{z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}+e^{-z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\right),\\\mathrm {ou} \quad v&=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\int dp\int dq.\\&\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\left(e^{z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}+e^{-z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Si l’on fait $z=0,$ on aura, pour déterminer $\mathrm {F} (\alpha ,\beta ),$ la condition suivante :

$\varphi (x,y)=\!\int \!d\alpha \!\int \!d\beta \,\mathrm {F} (\alpha \beta )\!\int \!dp\!\int \!dq\,\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\,;$