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CHAPITRE IX.

409.

Par exemple, l’équation différentielle étant

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}},\qquad ({\boldsymbol {c}})$

on veut connaître la valeur de $v$ en fonction de $(x,y,t),$ et telle, 1^o qu’en supposant $t=0,$ $v$ ou $f(x,y,t)$ devienne une fonction arbitraire $\varphi (x,y)$ de $x$ et $y\,;$

2^o Qu’en faisant $t=0$ dans la valeur de ${\frac {dv}{dt}},$ ou $f'(x,y,t),$ on trouve une seconde fonction entièrement arbitraire $\psi (x,y).$

Nous pouvons conclure de la forme de l’équation différentielle $(c),$ que la valeur de $v$ qui satisfera à cette équation et aux deux conditions précédentes, sera nécessairement l’intégrale générale. Pour découvrir cette intégrale, nous donnons d’abord à $v$ la valeur particulière

$v=\cos .(mt)\,\cos .(px)\,\cos .(qy).$

La substitution de $v$ fournit cette condition $m={\sqrt {p^{2}+q^{2}}}$. Il n’est pas moins évident que l’on peut écrire :

${\begin{aligned}v&=\cos .(p\,{\overline {x-\alpha }})\,\cos .(q\,{\overline {y-\beta }})\,\cos .t{\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\\\mathrm {ou} \quad v&=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\\&\int dp\,\cos .(px-p\alpha )\int dq\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .t{\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\\\end{aligned}}$

quelles que soient les quantités $p,\,q,\,\alpha ,\,\beta$ et $\mathrm {F} (\alpha ,\beta ),$ qui ne contiennent ni $x,$ ni $y,$ ni $t.$ En effet, cette dernière valeur de $v$ n’est autre chose qu’une somme de valeurs particulières.