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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$\mathrm {ou} \qquad fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\cos .(px-p\alpha )f\alpha ,$

on peut regarder $fx$ comme une fonction de deux variables $x$ et $y.$ La fonction $f\alpha$ sera donc une fonction de $\alpha$ et $y.$ On regardera maintenant cette fonction $f(\alpha ,y)$ comme une fonction de la variable $y,$ et l’on conclura du même théorème (B), page 525,

$f(\alpha ,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f(\alpha ,\beta )\int dq\,\cos .(qy-q\beta ).$

On aura donc, pour exprimer une fonction quelconque des deux variables $x$ et $y,$ l’équation suivante :

$f(x,y)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\beta \,f(\alpha ,\beta )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dq\,\cos .(qy-q\beta ).\;\;({\boldsymbol {\mathrm {BB} }})$

On formera de la même manière l’équation qui convient aux fonctions de trois variables, savoir :

${\begin{aligned}f&(x,y,z)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{3}\int d\alpha \int d\beta \int d\gamma \,f(\alpha ,\beta ,\gamma )\\&\int \!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\int \!\!dq\,\cos .(qy-q\beta )\int \!\!dr\,\cos .(rz-r\gamma ),\;\;({\boldsymbol {\mathrm {BBB} }})\\\end{aligned}}$

chacune des intégrales étant prise entre les limites $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}}.$

Il est manifeste que la même proposition s’étend aux fonctions qui comprennent un nombre quelconque de variables,

Il nous reste à montrer comment cette proposition s’applique à la recherche des intégrales, lorsque les équations contiennent plus de deux variables.