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CHAPITRE IX.

rivent des intégrales définies

${\begin{aligned}\int dx\,\cos .x^{2},\qquad &\mathrm {et} \quad \int dx\,\sin .x^{2}\,;\\\mathrm {soit} \qquad g=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dx\,\cos .x^{2},\qquad &\mathrm {et} \quad h=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dx\,\sin .x^{2}\,;\\\end{aligned}}$

et regardons $g$ et $h$ comme des nombres connus. Il est évident que, dans les deux équations précédentes, on peut mettre $y+b$ au lieu de $x,$ en désignant par $b$ une constante quelconque, et que les limites de l’intégrale seront les mêmes. Ainsi l’on a

${\begin{aligned}g&=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dy\,\cos .\left(y^{2}+2by+b^{2}\right),\qquad h=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dy\,\sin .\left(y^{2}+2by+b^{2}\right),\\g&=\int dy\left\{{\begin{array}{rcl}\cos .y^{2}.\cos .2by.\cos .b^{2}&\!\!-\!\!&\cos .y^{2}.\sin .2by.\sin .b^{2}\\-\sin .y^{2}.\sin .2by.\cos .b^{2}&\!\!-\!\!&\sin .y^{2}.\cos .2by.\sin .b^{2}\\\end{array}}\right\}\cdot \\\end{aligned}}$

Or il est facile de voir que toutes les intégrales qui contiennent le facteur $\sin .(2by)$ sont nulles, si les limites sont $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}}\,:$ car $\sin .(2by)$ change désigne en même temps que $y.$ On a donc

$g=\cos .b^{2}\int dy\,\cos .y^{2}.\cos .2by-\sin .b^{2}\int dy\,\sin .y^{2}.\cos .2by.\quad ({\boldsymbol {a}})$

L’équation en $h$ donnera aussi

$h=\int dy\left\{{\begin{array}{rcl}\sin .y^{2}.\cos .2by.\cos .b^{2}&\!\!+\!\!&\cos .y^{2}.\cos .2by.\sin .b^{2}\\+\cos .y^{2}.\sin .2by.\cos .b^{2}&\!\!-\!\!&\sin .y^{2}.\sin .2by.\sin .b^{2}\\\end{array}}\right\}\,;$

et, omettant aussi les termes qui contiennent $\sin .2by,$ on aura

$h=\cos .b^{2}\int dy\,\sin .y^{2}\,\cos .2by+\sin .b^{2}\int dy\,\cos .y^{2}\,\cos .2by.\quad ({\boldsymbol {b}})$