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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$\int dq\,\sin .(q^{2}t).\cos .(qz)={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\sin .\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {z^{2}}{4t}}\right).\qquad ({\boldsymbol {2}})$

On en conclut

$u={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\sqrt {t}}\int d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {(x-\alpha )^{2}}{4t}}\right).\qquad ({\boldsymbol {\delta }})$

Désignant ${\frac {\alpha -x}{2{\sqrt {t}}}}$ par une autre indéterminée $\mu ,$ on aura

$\alpha =x+2\,\mu \,{\sqrt {t}},\qquad d\alpha =2\,d\mu \,{\sqrt {t}}.$

Mettant, au lieu de $\quad \sin .\left({\frac {1}{4}}\pi +\mu ^{2}\right),$

sa valeur $\qquad {\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot \sin .\mu ^{2}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot \cos .\mu ^{2},$

on aura

$u={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\mu \,\left(sin.\mu ^{2}+\cos .\mu ^{2}\right)\,\varphi \left(\alpha +2\mu {\sqrt {t}}\right).\quad ({\boldsymbol {\delta '}})$

Nous avons prouvé dans un mémoire particulier, que ces intégrales $(\delta )$ ou $(\delta ')$ de l’équation $(d)$ représentent d’une manière claire et complète le mouvement des diverses parties de la lame élastique infinie. Elles contiennent l’expression distincte du phénomène, et en font connaître facilement toutes les lois. C’est sous ce point de vue sur-tout que nous les avons proposées à l’attention des géomètres. Elles montrent comment les oscillations se propagent et s’établissent dans toute l’étendue de la lame, et comment l’effet du déplacement initial, qui est arbitraire et fortuit, s’altère de plus en plus en s’éloignant de l’origine, devient bientôt insensible, et ne laisse subsister que l’action des forces propres du système, qui sont celles de l’élasticité.

407.

Les résultats exprimés par les équations (1) et (2) dé-