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THÉORIE DE LA CHALEUR.

contiennent ni $x,$ ni $t.$ On aura donc aussi

$u=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha .\int dq.\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ),$

$\mathrm {F} \alpha$ étant une fonction quelconque, et quelles que soient les limites des intégrations. Cette valeur de $v$ n’est autre chose qu’une somme de valeurs particulières.

Il est nécessaire maintenant qu’en supposant $t=0,$ la valeur de $u$ soit celle que nous avons désignée par $f(x,0)$ ou $\varphi x.$ On aura donc

$\varphi x=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int dq\,\cos .(qx-q\alpha ).$

Il faut déterminer la fonction $\mathrm {F} \alpha ,$ en sorte que, les deux intégrations étant achevées, le résultat soit la fonction arbitraire $\varphi x.$ Or le théorème exprimé par l’équation (B) fait connaître que les limites de chacune des intégrales étant

$-{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {et} \quad +{\tfrac {1}{0}},\qquad \mathrm {on} \;\mathrm {a} \quad \mathrm {F} \alpha ={\frac {1}{2\pi }}\varphi \alpha .$

Donc la valeur de $u$ est donnée par l’équation suivante :

$u={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ).$

Si l’on intégrait par rapport à $t$ cette valeur $u,$ en y changeant $\varphi$ en $\psi ,$ il est évident que l’intégrale désignée par $\mathrm {W}$ satisferait encore à l’équation différentielle proposée $(d),$ et l’on aurait

$\mathrm {W} ={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,\psi \alpha \int dq.{\frac {1}{q^{2}}}\,\sin .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha )\cdot$

Cette valeur $\mathrm {W}$ devient nulle lorsque $t=0$ ; et si l’on prend