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CHAPITRE IX.

si l’on connaît en fonction de $t$ et de $x$ une valeur de $v$ qui satisfasse à l’équation différentielle ; et si, de plus, en y faisant $t=0,$ cette fonction de $x$ et $t$ devient une fonction entièrement arbitraire de $x,$ la fonction de $x$ et $t$ dont il s’agit est l’intégrale générale de l’équation $(f).$ Toute la question est donc réduite à déterminer dans l’équation la fonction $\varphi \alpha ,$ en sorte que le résultat des deux intégrations soit une fonction donnée $fx.$ Il est seulement nécessaire, pour que la solution soit générale, que l’on puisse prendre pour $fx$ une fonction entièrement arbitraire et même discontinue. Il ne s’agit donc que de connaître la relation qui doit toujours exister entre la fonction donnée $fx$ et la fonction inconnue $\varphi \alpha .$ Or cette relation très-simple est exprimée par le théorème dont nous parlons. Elle consiste en ce que les intégrales étant prises entre des limites infinies, la fonction $\varphi \alpha$ est ${\frac {1}{2\pi }}f\alpha$ ; c’est-à-dire qu’on a l’équation

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ).\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

On en conclut, pour l’intégrale générale de la proposée $(f),$

$v={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,e^{-t(ap^{2}+bp^{4}+cp^{6}+\mathrm {etc.} )}\cos .(px-p\alpha ).\quad ({\boldsymbol {\varphi }})$

405.

Si l’on propose l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=0,\qquad ({\boldsymbol {d}})$

qui exprime le mouvement vibratoire d’une lame élastique, on considérera que, d’après la forme de cette équation, la