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THÉORIE DE LA CHALEUR.

La valeur la plus générale de $v$ ne peut pas contenir plus d’une fonction arbitraire en $x$ : car il est évident, par la forme même de l’équation, que si l’on connaissait en fonction de $x$ la valeur de $v$ qui répond à $t=0,$ toutes les autres valeurs de $v,$ qui répondent aux valeurs successives de $t,$ seraient déterminées. On aura donc, pour exprimer $v,$ l’équation $v=e^{t\mathrm {D} }.\varphi x.$

On désigne par $\mathrm {D} \varphi$ l’expression

$a{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+b{\frac {d^{4}\varphi }{dx^{4}}}+c{\frac {d^{6}\varphi }{dx^{6}}}+\mathrm {etc.} \,;$

c’est-à-dire que, pour former la valeur de $v,$ il faudrait développer, selon les puissances de $t,$ la quantité

$e^{\displaystyle t(a\alpha ^{2}+b\alpha ^{4}+c\alpha ^{6}+d\alpha ^{8}+\mathrm {etc.} )},$

et écrire ensuite ${\frac {d}{dx}}$ au lieu de $\alpha ,$ en considérant les exposants de $\alpha$ comme des indices de différentiation. En effet, cette valeur de $v$ étant différentiée par rapport à $t$ seulement, on a

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {D} e^{t\mathrm {D} }\varphi x=\mathrm {D} v=a{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+b{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+c{\frac {d^{6}v}{dx^{6}}}+\mathrm {etc.}$

Il serait inutile de multiplier ces applications d’un même procédé. Pour les équations très-simples, on peut se dispenser des expressions abrégées ; mais, en général, elles suppléent à des calculs très-composés. Nous avons choisi pour exemple les équations précédentes, parce qu’elles se rapportent toutes à des phénomènes physiques dont l’expression analytique est analogue à celle du mouvement de la chaleur. Les deux premières, $(a)$ et $(b),$ appartiennent à la théorie de la chaleur ; et les trois suivantes, $(c),$ $(d),$ $(e),$ à des questions dynamiques ; la dernière, $(f),$ exprime ce que serait