Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/552

520

THÉORIE DE LA CHALEUR.

Il faut développer la valeur précédente de $v$ selon les puissances de $t,$ écrire $\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\right)^{i},$ au lieu de $\mathrm {D} ^{i},$ et regarder ensuite $i$ comme indice de différentiation.

La valeur suivante $\int dt\,\cos .\left(t{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\,\psi (x,y)$ satisfait à la même condition : ainsi la valeur la plus générale de $v$ est

${\begin{aligned}v&=\cos .\left(t{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\varphi (x,y)+\mathrm {W} \\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad \mathrm {W} &=\int dt\,\cos .\left(t{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right).\psi (x,y)\cdot \\\end{aligned}}$

$v$ est une fonction $f(x,y,t)$ de trois variables. Si l’on fait $t=0,$ on a $f(x,y,0)=\varphi (x,y)\,;$ et, désignant ${\frac {d}{dt}}f(x,y,t)$ par $f'(x,y,t),$ on aura $f'(x,y,0)=\psi (x,y).$

Si l’équation proposée est

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=0,\qquad \qquad ({\boldsymbol {d}})$

la valeur de $v$ en série ordonnée selon les puissances de $t$ sera $v=\cos .(t\mathrm {D} ^{2})\varphi (x,y),$ en désignant ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$ par $\mathrm {D} \,:$ car on en déduit

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-\mathrm {D} ^{4}v=-{\frac {d^{4}}{dy^{4}}}v.$

La valeur générale de $v,$ qui ne peut contenir que deux fonctions arbitraires de $x$ et $y,$ est donc

${\begin{aligned}v&=\cos .(t\mathrm {D} ^{2}).\varphi (x,y)+\mathrm {W} \\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad \mathrm {W} &=\int \limits _{0}^{t}dt\,\cos .(t\mathrm {D} ^{2}).\psi (x,y)\cdot \end{aligned}}$

Désignant $v$ par $f(x,y,t),$ et ${\frac {dv}{dt}}$ par $f'(x,y,t),$ on a, pour déterminer les deux fonctions arbitraires,

$\varphi (x,y)=f(x,y,0),\qquad \mathrm {et} \qquad \psi (x,y)=f'(x,y,0).$