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CHAPITRE IX.

et, désignant par $\varphi _{I},\,\varphi _{II},\,\varphi _{III},$ etc., les fonctions

${\frac {d}{dt}}\varphi ,\;{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\varphi ,\;{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}\varphi ,\;\mathrm {etc.} ,$

on aura d’abord $v=a+bx+\int dx\int dx\,v_{I}\,;$ $a$ et $b$ représentent ici deux fonctions quelconques de $t.$ On mettra ensuite pour $v_{I}$ sa valeur $a_{I}+b_{I}x+\int dx\int dx\,v_{II}\,;$ et, pour $v_{II},$ sa valeur $a_{II}+b_{II}x+\int dx\int dx\,v_{III},$ et ainsi de suite. On trouvera, par ces substitutions continuées,

${\begin{aligned}v&=a+bx+\int dx\int dx\,v_{I}\\&=a+bx+\int dx\int dx\left(a_{I}+b_{I}x+\int dx\int dx\,v_{II}\right)\\&=a+bx+\int \!\!dx\!\!\int \!\!dx\left(a_{I}+b_{I}x+\int \!\!dx\!\!\int \!\!dx\ \left(a_{II}+b_{II}x+\int \!\!dx\!\!\int \!\!dx\,v_{III}\right)\right).\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {ou} \quad v&=a+{\frac {x^{2}}{2}}a_{I}+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}a_{II}+{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}a_{III}+\mathrm {etc.} \\&+xb+{\frac {x^{3}}{2.3}}b_{I}+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}b_{II}+{\frac {x^{7}}{2.3.4.5.6.7}}b_{III}+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {\mathrm {X} }})\\\end{aligned}}$

Dans cette série, $a$ et $b$ désignent deux fonctions arbitraires de $t.$

Si dans cette série donnée par l’équation (X) on met, au lieu de $a$ et $b,$ deux fonctions $\varphi t$ et $\psi t,$ et qu’on les développe selon les puissances ascendantes de $t,$ en ordonnant le résultat total par rapport à ces mêmes puissances de $t,$ on ne trouve qu’une seule fonction arbitraire de $x,$ au lieu des deux fonctions $a$ et $b.$ On doit cette remarque à M. Poisson, qui l’a donnée dans le tome VI des Mémoires de l’École polytechnique, pag. 110.