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THÉORIE DE LA CHALEUR.

tion $(a)$ en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l’une ou l’autre variable. Ces développements se présentent d’eux-mêmes, et nous pourrions nous dispenser de les rapporter ; mais ils donnent lieu à des remarques utiles pour la recherche des intégrales. En désignant par $\varphi ',$ $\varphi '',$ $\varphi ''',$ etc., les fonctions ${\frac {d}{dx}}\varphi x,$ ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varphi x,$ ${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\varphi x,$ etc., on a

${\frac {dv}{dt}}=v'',\qquad \mathrm {et} \qquad v=c+\int dt\,v''\,:$

la constante représente ici une fonction quelconque de $x.$ En mettant pour $v''$ sa valeur $c''+\int dt\,v'',$ et continuant toujours des substitutions semblables, on trouve

${\begin{aligned}v&=c+\int dt\,v''\\&=c+\int dt\left(c''+\int dt.v''\right)\\&=c+\int dt\left(c''+\int dt\left(c''+\int dt.v''\right)\right),\\\end{aligned}}$

ou

$v=c+tc''+{\frac {t^{2}}{2}}c^{IV}+{\frac {t^{3}}{2.3}}c^{VI}+{\frac {t^{4}}{2.3.4}}c^{VIII}+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {\mathrm {T} }})$

Dans cette série, $c$ désigne une fonction arbitraire en $x.$ Si l’on veut ordonner le développement de la valeur de $v,$ selon les puissances ascendantes de $x,$ on écrira

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\frac {dv}{dt}},$