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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$2dq,$ $3dq,$ $\dots i\,dq\dots$ etc., le nombre infini $n$ sera exprimé par ${\frac {1}{dq}},$ et le nombre variable $i$ par ${\frac {q}{dq}}.$ Faisant ces substitutions, on trouve

$v={\frac {1}{2\pi }}\sum dq\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,e^{-q^{2}t}.\cos .(qx-q\alpha ).$

Les termes qui entrent sous le signe $\textstyle \sum$ sont des quantités différentielles, en sorte que ce signe devient celui d’une intégrale définie ; et l’on a

$v={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,e^{-q^{2}t}.\cos .(qx-q\alpha ).\qquad ({\boldsymbol {\beta }})$

Cette équation est une seconde forme de l’intégrale de l’équation $(a)\,;$ elle exprime le mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme d’une longueur infinie (chap. VII, page 441). Elle est une conséquence évidente de la première intégrale $(\alpha ).$

398.

On peut, dans l’équation $(\beta ),$ effectuer l’intégration définie par rapport à $q\,;$ car on a, selon un lemme connu, et que l’on a démontré précédemment (art. 375),

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dz\,e^{-z^{2}}\,\cos .2hz=e^{-h^{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Faisant donc $z^{2}=q^{2}t,$ on trouvera