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THÉORIE DE LA CHALEUR.

ou celle-ci :

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\cdot \qquad ({\boldsymbol {a}})$

Pour déduire de cette équation différentielle les lois de la propagation de la chaleur dans un corps d’une figure déterminée, par exemple, dans une armille, il était nécessaire de connaître l’intégrale, et de l’obtenir sous une certaine forme propre à la question, et qui ne pourrait être suppléée par aucune autre. Cette intégrale a été donnée pour la première fois dans notre Mémoire remis à l’Institut de France le 21 décembre 1807 (page 124, art. 84) : elle consiste dans l’équation suivante, qui exprime le système variable des températures d’un anneau solide :

$v={\frac {1}{2\pi \mathrm {R} }}\sum \int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,e^{-i^{2}{\frac {t}{\mathrm {R} ^{2}}}}\,\cos \left(i\cdot {\frac {x-\alpha }{\mathrm {R} }}\right)\cdot \qquad ({\boldsymbol {\alpha }})$

$\mathrm {R}$ est le rayon de la circonférence moyenne de l’armille ; l’intégrale $\int$, par rapport à $\alpha ,$ doit être prise depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha =2\pi \mathrm {R} ,$ ou, ce qui donne le même résultat, depuis $\alpha =-\pi \mathrm {R}$ jusqu’à $\alpha =\pi \mathrm {R} .$ $i$ est un nombre entier quelconque, et la somme $\sum$ doit être prise depuis $i=-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $i=+{\tfrac {1}{0}}.$ $v$ désigne la température que l’on observerait après le temps écoulé $t,$ en chaque point d’une section séparée par l’arc $x$ de celle qui est à l’origine. On représente par $v=\mathrm {F} \alpha$ la température initiale d’un point quelconque