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THÉORIE DE LA CHALEUR.

celle qu’aurait un seul point, si l’on distribuait également la chaleur initiale entre tous les points d’une portion de la barre dont la longueur serait $b,$ ou, plus simplement, l’unité de mesure. Il s’agit de déterminer la valeur du temps écoulé $t,$ qui répond au maximum de température d’un point donné.

Pour résoudre cette question, il suffit de déduire de l’équation $(a)$ la valeur de ${\frac {dv}{dt}}$ et de l’égaler à zéro, on aura

${\frac {dv}{dt}}=-hv+{\frac {x^{2}}{4\,k\,t^{2}}}v-{\frac {1}{2}}t^{-1}.v,\quad \mathrm {et} \quad {\frac {1}{t^{2}}}-{\frac {2k}{x^{2}}}{\frac {1}{t}}={\frac {4\,h\,k}{x^{2}}}\quad ({\boldsymbol {b}})$

donc la valeur $\theta ,$ du temps qui doit s’écouler pour que le point placé à la distance $x$ atteigne sa plus haute température, est exprimé par l’équation

$\theta \,k={\frac {1}{{\frac {1}{x^{2}}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{4}}}+{\frac {4\,h}{k\,x^{2}}}}}}}.\qquad ({\boldsymbol {c}})$

Pour connaître la plus haute température $\mathrm {V} ,$ on remarquera que l’exposant de $e^{-1}$ dans l’équation $(a)$ est $ht+{\frac {x^{2}}{4\,k\,t}}.$ Or l’équation $(b)$ donne $ht={\frac {x^{2}}{4\,k\,t}}-{\frac {1}{2}}\,;$ donc $ht+{\frac {x^{2}}{4\,k\,t}}={\frac {x^{2}}{2\,k\,t}}-{\frac {1}{2}}$ et, mettant pour ${\frac {1}{t}}$ sa valeur connue, on a $ht+{\frac {x^{2}}{4\,k\,t}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {h}{k}}x^{2}}}\,;$ substituant cet exposant de $e^{-1}$ dans l’équation $(a),$ on a

$\mathrm {V} ={\frac {b\,f}{2{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {e^{-{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {h}{k}}x^{2}}}}}{{\sqrt {k}}{\sqrt {\theta }}}}\,;$