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THÉORIE DE LA CHALEUR.

du solide, comprise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} ,$ puissent être représentées à très-peu près par l’équation réduite

$v={\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {k}}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{-h}^{+g}d\alpha \,f\alpha ,$

et que 0 et soient $g,$ les limites de la portion primitivement échauffée.

La solution exacte est donnée par l’équation

$v=\int \limits _{0}^{g}{\frac {d\alpha \,f\alpha \,e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,k\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {k}}{\sqrt {t}}}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {i}})$

et la solution approchée est donnée par l’équation

$v={\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {k}}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{0}^{g}d\alpha \,f\alpha \,;\qquad ({\boldsymbol {y}})$

$k$ désignant la valeur ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ de la conducibilité. Pour que l’équation $(y)$ puisse être en général substituée à la précédente $(i),$ il faut que le facteur $e^{\frac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}},$ qui est celui que l’on omet, diffère très-peu de l’unité ; car s’il était 1 ou ${\tfrac {1}{2}}$ on pourrait craindre de commettre une erreur égale à la valeur calculée, ou à la moitié de cette valeur. Soit donc $e^{\frac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}=1+\omega ,$ $\omega$ étant une petite fraction, comme ${\tfrac {1}{100}}$ ou ${\tfrac {1}{1000}}$ on en conclura la condition