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CHAPITRE IX.

${\begin{aligned}\int dp\,e^{-p^{2}}\!\cos .2pu&={\frac {1}{2}}\int dp\,e^{-p^{2}+2pu{\sqrt {-1}}}+{\frac {1}{2}}\int dp\,e^{-p^{2}-2pu{\sqrt {-1}}}\\&={\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}\!\!\int \!dp\,e^{-p^{2}+2pu{\sqrt {-1}}+u^{2}}\!+\!{\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}\!\!\int \!dp\,e^{-p^{2}-2pu{\sqrt {-1}}+u^{2}}\\&={\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}\int dp\,e^{-\left(p-u{\sqrt {-1}}\right)^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}\int dp\,e^{-\left(p+u{\sqrt {-1}}\right)^{2}}\\\end{aligned}}$

Or chacune des intégrales qui entrent dans ces deux termes équivaut à ${\sqrt {\pi }}.$ En effet, on a en général

${\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-q^{2}},$

et par conséquent

${\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-(q+b)^{2}},$

quelle que soit la constante $b.$ On trouve donc, en faisant

$b=\mp u{\sqrt {-1}},\quad \int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .2qu=e^{-n^{2}}\,{\sqrt {\pi }},$

donc

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx={\frac {e^{-n^{2}}\,{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {t}}},$

et mettant pour $u$ sa valeur ${\frac {x}{2\,{\sqrt {t}}}},$ on aura

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}{\sqrt {\pi }}.$