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THÉORIE DE LA CHALEUR.

aura $\quad v=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha .{\frac {e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\qquad ({\boldsymbol {i}})$

ou $\quad v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,f(x+2q{\sqrt {t}}).\qquad ({\boldsymbol {i}})$

On voit par-là comment l’emploi des valeurs particulières

$e^{-n^{2}t}\,\cos .nx\qquad \mathrm {ou} \qquad {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$

conduit à l’intégrale sous forme finie.

375.

La relation qu’ont entre elles ces deux valeurs particulières, se découvre lorsqu’on détermine l’intégrale

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx.$

Pour effectuer l’intégration, on pourrait développer le facteur $\cos .nx,$ et intégrer par rapport à $n.$ On obtient ainsi une série qui représente un développement connu ; mais on déduit plus facilement ce résultat de l’analyse suivante. L’intégrale $\int dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx$ se rapporte à celle-ci :

$\int dp\,e^{-p^{2}}\,\cos .2pu\,;$

en supposant $n^{2}t=p^{2}$ et $nx=2pu.$ On a ainsi

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx={\frac {1}{\sqrt {t}}}\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dp\,e^{-p^{2}}\,\cos .2pu.$

On écrira maintenant