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CHAPITRE IX.

$x,\,y,\,z$ à une température initiale égale à la valeur de la fonction donnée $\mathrm {F} (x,y,z).$ On peut se représenter que la chaleur initiale est contenue dans une certaine partie de la masse dont le premier état est donné au moyen de l’équation $v=\mathrm {F} (x,y,z),$ et que tous les autres points ont une température initiale nulle. Il s’agit de connaître quel sera, après un temps donné, le système des températures. Il faut par conséquent exprimer la température variable $v$ par une fonction $\varphi (x,y,z,t)$ qui doit satisfaire à l’équation générale (A) et à la condition $\varphi (x,y,z,0)=\mathrm {F} (x,y,z).$ Or la valeur de cette fonction est donnée par l’intégrale

$v=\pi ^{-{\frac {3}{2}}}\int dn\int dp\int dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})t}\mathrm {F} \left(x+2n{\sqrt {t}}\right).$

En effet, cette fonction $v$ satisfait à l’équation (A), et si l’on y fait $t=0,$ on trouve

$\pi ^{-{\frac {3}{2}}}\int dn\int dp\int dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})t}\mathrm {F} (x,y,z).$

ou, en achevant les intégrations, $\mathrm {F} (x,y,z).$

374.

Puisque la fonction $v$ ou $\varphi (x,y,z,t)$ représente l’état initial lorsqu’on y fait $t=0,$ et qu’elle satisfait à l’équation différentielle de la propagation de la chaleur, elle représente aussi l’état du solide qui a lieu au commencement du second instant, et en faisant varier le second état, on en conclut que la même fonction représente le troisième état du solide, et tous les états subséquens. Ainsi la valeur de $v,$ que l’on vient de déterminer, contenant une fonction entièrement arbitraire des trois variables $x,y,z$ donne la solution