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CHAPITRE IX.
De l’équation connue
on conclut celle-ci
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
étant une constante quelconque ;
on a donc
![{\displaystyle \qquad e^{a^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2aq^{2}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76273cb4e232969609ef018b3d1af4783137f506)
ou
![{\displaystyle e^{a^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\left(1-2aq+{\frac {2^{2}a^{2}q^{2}}{2}}-{\frac {2^{3}a^{3}q^{3}}{2.3}}+\mathrm {etc.} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d67179176c87a0709acac918fef3e08083f071)
Cette équation a lieu, quelle que soit la valeur de
On peut
développer le premier membre ; et, par la comparaison des
termes, on obtiendra les valeurs déjà connues de l’intégrale
Cette valeur est nulle lorsque
est impair,
et l’on trouve, lorsque
est un nombre pair ![{\displaystyle 2m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996d2649b076fa0457c765e89a94913817d1a828)
![{\displaystyle \int dq\,e^{-q^{2}}\,q^{2m}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}\cdots \cdot {\frac {2m-1}{2}}\cdot {\sqrt {\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b835f985f53400c368fe4fce22f727f7f311ddf)
371.
On a employé précédemment pour l’intégrale de l’équation
l’expression
![{\displaystyle u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}kt}\cos .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}kt}\cos .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}kt}\cos .n_{3}x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f609e5f4d92232bf82a2be6e31dfd5ff95e66a)
ou celle-ci
![{\displaystyle u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}kt}\sin .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}kt}\sin .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}kt}\sin .n_{3}x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b470f21f1020295c528da93f1f738c2c7791e4)
etc. et
etc. étant deux séries de constantes
arbitraires. Il est aisé de voir que chacun de ces termes