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CHAPITRE IX.

${\begin{aligned}&-\mathrm {K\,S} {\frac {dv}{dt}}={\frac {2\mathrm {S.K} }{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\cdot {\sqrt {\pi }}\left\{1-{\frac {1}{1}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{2}+{\frac {1}{1.2}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{4}\right.\\&\left.-{\frac {1}{1.2.3}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{6}+\mathrm {etc.} \right\}=\mathrm {S} \cdot {\frac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{{\sqrt {t}}\,{\sqrt {\pi }}}}e^{-\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{2}}\,;\\\end{aligned}}$

ainsi l’expression de la quantité ${\frac {dv}{dx}}$ est entièrement dégagée du signe intégral. La valeur précédente à la surface du solide échauffé est $\mathrm {S} \cdot {\tfrac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{{\sqrt {\pi }}\,{\sqrt {t}}}}$ ce qui fait connaître comment le flux de chaleur à la surface varie avec les quantités $\mathrm {C.D\,K} ,\,t\,;$ pour trouver combien le foyer communique de chaleur au solide pendant un temps écoulé $t,$ on prendra l’intégrale

$\int \mathrm {S} \cdot {\frac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {2\mathrm {S} \,{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}.{\sqrt {t}}}{\sqrt {\pi }}}\,:$

ainsi la chaleur acquise croît proportionnellement à la racine quarrée du temps écoulé.

367.

On peut traiter par une analyse semblable la question de la diffusion de la chaleur qui dépend aussi de l’intégration de l’équation ${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv.$ On représentera par $fx$ la température initiale d’un point de la ligne placée à la distance $x$ de l’origine, et l’on cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps $t,$ faisant $v=e^{-ht}.z,$ on aura ${\frac {dz}{dt}}=k{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$ et par conséquent $z=\int dq\,e^{-q^{2}}\varphi (x+2q{\sqrt {kt}}).$ Lorsque $t=0$ on doit avoir