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THÉORIE DE LA CHALEUR.

donc

$\psi (-\mathrm {R} )-\psi (\mathrm {R} )=2\varphi (\mathrm {R} )\quad \mathrm {et} \quad v=1-2\varphi \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\,;$

en développant l’intégrale $\varphi (\mathrm {R} )$ on a

$\varphi (\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(\mathrm {R} -{\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{3}}\mathrm {R} ^{3}+{\frac {1}{1.2}}\cdot {\frac {1}{5}}\mathrm {R} ^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}\cdot {\frac {1}{7}}\mathrm {R} ^{7}+\mathrm {etc.} \right)\,;$

donc

${\frac {1}{2}}v{\sqrt {\pi }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}+{\frac {1}{1}}\,{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{3}-{\frac {1}{1.2}}\,{\frac {1}{5}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{5}+\mathrm {etc.}$

1^o Si l’on suppose $x$ nulle, on trouvera $v=1$ ; 2^o si $x$ n’étant point nulle, on suppose $t=0$ ; la somme des termes qui contiennent $x$ représente l’intégrale $\int dr\,e^{-r^{2}}$ prise depuis $r=0$ jusqu’à $r={\tfrac {1}{0}}$ et par conséquent équivaut à $\mathrm {{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} \,;$ donc $v$ est nulle ; 3^o différents points du solide placés à des profondeurs différentes $x_{1}\,x_{2}\,x_{3}$ etc., parviennent à une même température après des temps différents $t_{1}\,t_{2}\,t_{3}$ etc., qui sont proportionnels aux quarrés des longueurs $x_{1}\,x_{2}\,x_{3}$ etc. ; 4^o Pour comparer les quantités de chaleur qui traversent pendant un instant infiniment petit une section $\mathrm {S}$ placée dans l’intérieur du solide à la distance $x$ du plan échauffé, on prendra la valeur de la quantité $-\mathrm {KS} {\frac {dv}{dx}}$ et l’on aura