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CHAPITRE IX.

moyen de la fonction donnée $fx,$ et l’on a l’équation suivante, qui contient la solution de la question

$v=-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {KS} }}}}+{\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}f(x+2q{\sqrt {kt}})\,:$

il est facile de représenter ce résultat par une construction.

365.

Nous appliquerons la solution précédente au cas où tous les points de la ligne AB ayant la température initiale 0, on échauffe l’extrémité A pour la retenir continuellement à la température 1. Il en résulte que $\mathrm {F} x$ a une valeur nulle lorsque $x$ diffère de 0. Ainsi $fx$ équivaut à $-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}},$ toutes les fois que $x$ diffère de 0, et à 0, lorsque $x$ est nulle. D’un autre côté il est nécessaire qu’en faisant $x$ négative, la valeur de $fx$ change de signe, en sorte que l’on a la condition $f(-x)=-fx.$ On connaît ainsi la nature de la fonction discontinue $fx\,;$ elle est $-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}$ lorsque $x$ surpasse 0, et $+e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}$ lorsque $x$ est moindre que 0. Il faut maintenant écrire au lieu de $x$ la quantité $x+2q{\sqrt {kt}}.$ Pour trouver $u$ ou $\int dq\,e^{-q^{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}f(x+2q{\sqrt {kt}}),$ on prendra d’abord l’intégrale depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=0\quad$ jusqu’à $\quad x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}}$

et ensuite depuis $x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $x+2q{\sqrt {kt}}=0.$ Pour la première partie on a