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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Si l’on prenait les intégrales par rapport à $\alpha$, depuis $-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $+{\tfrac {1}{0}},$ le résultat de chaque intégration serait doublé, ce qui est une conséquence nécessaire des deux conditions

$f\alpha =-f(-\alpha ),\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {F} \alpha =\mathrm {F} (-\alpha ),$

on a donc les deux équations

${\begin{aligned}\pi \,fx&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha \\\mathrm {et} \quad \pi \,\mathrm {F} x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha .\end{aligned}}$

On a remarqué précédemment qu’une fonction quelconque $\varphi x$ se décompose toujours en deux autres, dont l’une, $\mathrm {F} x$ satisfait à la condition $\mathrm {F} x=\mathrm {F} (-x),$ et dont l’autre $fx$ satisfait à la condition $fx=-f(-x).$ On a aussi les deux équations

$0=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\sin .q\alpha \quad \mathrm {et} \quad 0=\int d\alpha \,f\alpha \,\cos .q\alpha ,$

on en conclut

${\begin{aligned}\pi (\mathrm {F} x+fx)=\pi \,\varphi x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha ,\\&+\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha ,\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {et} \quad \pi \,\varphi x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .q\alpha ,\\&+\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .q\alpha ,\\\end{aligned}}$