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THÉORIE DE LA CHALEUR.

${\frac {1}{2}}\pi \,\mathrm {F} x=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{0}^{\infty }dx\,\mathrm {F} x\,\cos .qx\qquad ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

qui est analogue à la précédente.

360.

Pour donner une application de ces théorèmes, nous supposerons $fx=x^{r},$ le second membre de l’équation $(e)$ deviendra par cette substitution $\int dq\,\sin .qx\int dx\,\sin .qx\,x^{r}.$ L’intégrale

$\int dx\,\sin .qx.x^{r}\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{q^{r}q}}\int q\,dx\,\sin .qx.(qx)^{r}$

équivaut à ${\frac {1}{q^{r}.q}}\int du\,\sin .u.u^{r},$ l’intégrale étant prise de $u$ nulle à $u$ infinie. Soit $\mu$ cette intégrale totale

$\int du\,\sin .u.u^{r}\,;$

il reste à prendre l’intégrale

$\int dq\,\sin .(qx)\cdot {\frac {1}{q^{r}.q}}\,\mu \quad \mathrm {ou} \quad \mu \,x^{r}\int du\,\sin .u.u^{-(r+1)}.$

désignant par $\nu$ cette dernière intégrale, prise de $u$ nulle à $u$ infinie, on aura pour résultat des deux intégrations successives le terme $x^{r}\,\mu .\nu .$ On doit donc avoir, selon la condition exprimée par l’équation $(e),$

${\frac {1}{2}}\pi x^{r}=\mu .\nu \,x^{r}\quad \mathrm {pu} \quad \mu \nu ={\frac {1}{2}}\pi \,;$

ainsi le produit des deux transcendantes