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CHAPITRE IX.

cette valeur de l’intégrale définie $\int {\frac {dr}{r}}\sin .r$ est connue depuis long-temps. Si en supposant $r$ négatif on prenait la même intégrale de $r=0$ à $r=-{\tfrac {1}{0}},$ on aurait évidemment un résultat de signe contraire $-{\tfrac {1}{2}}\pi .$

357.

La remarque que nous venons de faire sur la valeur de l’intégrale $\int {\frac {dr}{r}}\sin .r,$ qui est ${\tfrac {1}{2}}\pi$ ou $-{\tfrac {1}{2}}\pi$ peut servir à taire connaître la nature de l’expression

${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\sin .q}{q}}\cos .qx,$

dont nous avons trouvé précédemment (article 348) la valeur égale à 1 ou à 0, selon que $x$ est ou n’est pas comprise entre $1$ et $-1$. En effet, on a

$\int {\frac {dq}{q}}\cos .qx\,\sin .q={\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q.{\overline {x+1}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q.{\overline {x-1}}\,;$

le premier terme vaut ${\frac {1}{4}}\pi$ ou $-{\frac {1}{4}}\pi$ selon que $x+1$ est une quantité positive ou négative ; le second ${\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q{\overline {x-1}}$ vaut ${\frac {1}{4}}\pi$ ou $-{\frac {1}{4}}\pi ,$ selon que $x-1$ est une quantité positive ou négative. Donc l’intégrale totale est nulle si $x+1$ et $x-1$ ont le même signe ; car, dans ce cas, les deux termes se détruisent. Mais si ces quantités sont de signe différent, c’est-à-dire si l’on a en même temps

$x+1>0\quad \mathrm {et} \quad x-1<0,$

les deux termes s’ajoutent et la valeur de l’intégrale est ${\frac {1}{2}}\pi .$