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CHAPITRE IX.

ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en $x$ et $t$ la valeur de la température : il faut seulement remarquer que la fonction $\operatorname {F} x$ correspond à une ligne formée de deux parties égales et alternes.

354.

Si la chaleur initiale est distribuée dans le prisme de telle manière que la ligne FFFF (fig. 17) qui représente cet état initial soit formée de deux arcs égaux placés à droite et à gauche du point fixe O, le mouvement variable de la chaleur est exprimé par l’équation

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\,\cos .q\alpha .$

Si la ligne $ffff$ (fig. 18) qui représente l’état initial est formée de deux arcs pareils et alternes, l’intégrale qui donne la valeur de température est

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,f\alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\,\sin .q\alpha .$

Lorsqu’on supposera la chaleur initiale distribuée d’une manière quelconque, il sera facile de conclure des deux solutions précédentes l’expression de $v$. En effet, quelle que soit la fonction $\varphi x$ qui représente la température initiale et donnée, elle se décompose toujours en deux autres $\operatorname {F} x+fx$ dont l’une correspond à la ligne FFFF, et l’autre à la ligne $ffff,$ en sorte que l’on a ces trois conditions :

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} (-x),\quad fx=-f(-x),\quad \varphi x=\operatorname {F} x+fx.$