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THÉORIE DE LA CHALEUR.

On représentera par ${\tfrac {q}{dq}},$ le nombre $i$, qui est variable et qui devient infini. Ainsi l’on aura

$\mathrm {X} ={\frac {\pi }{dq}},\quad n={\frac {1}{dq}},\quad i={\frac {q}{dq}},$

En faisant ces substitutions dans le terme dont il s’agit, on trouvera $e^{-kq^{2}r}\sin .qx\int dx\,\operatorname {F} x\,\sin .qx.$ Chacun de ces termes doit être divisé par $\mathrm {X}$ ou ${\tfrac {\pi }{dq}},$ il devient par-là une quantité infiniment petite, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale, qui doit être prise par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}.$ Donc

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int dx\,\operatorname {F} x\,\sin .qx\qquad ({\boldsymbol {\alpha }}).$

l’intégrale, par rapport à $x,$ doit être prise de $x=0$ à $x={\tfrac {1}{0}},$ ce qui donne une fonction de $q$ ; et la seconde intégrale doit être prise par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}\cdot$ On peut aussi écrire

${\begin{aligned}&{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\infty }dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \,\sin .q\alpha ,\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\,\sin .q\alpha ,\\\end{aligned}}$

L’équation $(\alpha )$ contient la solution générale de la question ; et, en substituant pour $\operatorname {F} x$ une fonction quelconque, assujettie