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CHAPITRE IX.
soit
, et désignons
ou
par
; on aura
![{\displaystyle fr=a_{1}\sin .r+a_{2}\sin .2r+a_{3}\sin .3r+a_{4}\sin .4r+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c9649fc4dc07c2eb6203565abacd2c4090ceed)
Or, on a trouvé précédemment
l’intégrale
étant prise de
à
Donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} }{2}}a_{i}=\int dx\,\operatorname {F} x.\sin \left(ix{\frac {\mathrm {X} }{\pi }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6114b1a6d8c0c4e2002528a2636ea85cadc0e693)
L’intégrale devait être prise de
à
; donc elle doit
être prise par rapport à
depuis
jusqu’à
En
faisant ces substitutions, on forme l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}v=&{\frac {2}{\mathrm {X} }}e^{-ht}\left\{e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\int dx\,\operatorname {F} x\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\right.\\&+\left.e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}2^{2}t}.\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\,\operatorname {F} x\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.} \right\}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77bafbad030fceb744b79f9033bbab55d2306d46)
353.
Telle serait la solution, si le prisme avait une longueur
finie représentée par
Elle est une conséquence évidente
des principes que nous avons posés jusqu’ici ; il ne reste
plus qu’à supposer la dimension
infinie. Soit
étant un nombre infini ; soit aussi
une variable dont les
accroissements infiniment petits
sont tous égaux ; on
écrira
au lieu de
Le terme général de la série qui entre
dans l’équation
étant
![{\displaystyle e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}i^{2}t}\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\,\operatorname {F} x\,\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6557cdeaaada7e7ae2b132701848c1ffb1cb98d)