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CHAPITRE IX.

soit $x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}=r$, et désignons $\operatorname {F} x$ ou $\operatorname {F} \left(r{\frac {\mathrm {X} }{\pi }}\right)$ par $fr$ ; on aura

$fr=a_{1}\sin .r+a_{2}\sin .2r+a_{3}\sin .3r+a_{4}\sin .4r+\mathrm {etc.}$

Or, on a trouvé précédemment $a_{i}={\frac {2}{\pi }}\int dr\,fr.\sin .ir,$ l’intégrale étant prise de $r=0$ à $r=\pi .$ Donc

${\frac {\mathrm {X} }{2}}a_{i}=\int dx\,\operatorname {F} x.\sin \left(ix{\frac {\mathrm {X} }{\pi }}\right).$

L’intégrale devait être prise de $r=0$ à $r=\pi$ ; donc elle doit être prise par rapport à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} .$ En faisant ces substitutions, on forme l’équation

${\begin{aligned}v=&{\frac {2}{\mathrm {X} }}e^{-ht}\left\{e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\int dx\,\operatorname {F} x\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\right.\\&+\left.e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}2^{2}t}.\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\,\operatorname {F} x\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.} \right\}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})\end{aligned}}$

353.

Telle serait la solution, si le prisme avait une longueur finie représentée par $2\,\mathrm {X} .$ Elle est une conséquence évidente des principes que nous avons posés jusqu’ici ; il ne reste plus qu’à supposer la dimension $\mathrm {X}$ infinie. Soit $\mathrm {X} =n\pi ,$ $n$ étant un nombre infini ; soit aussi $q$ une variable dont les accroissements infiniment petits $dq$ sont tous égaux ; on écrira ${\tfrac {1}{qd}}$ au lieu de $n.$ Le terme général de la série qui entre dans l’équation $(a)$ étant

$e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}i^{2}t}\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\,\operatorname {F} x\,\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right).$