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CHAPITRE IX.

$y=e^{-x}.$ On voit ici un second exemple d’une fonction discontinue exprimée par une intégrale définie. Cette fonction ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ équivaut à $e^{-x}$ lorsque $x$ est positive, mais elle est $e^{x}$ lorsque $x$ est négative,

351.

La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont l’extrémité est assujettie à une température constante, se réduit, comme on le verra dans la suite, à celle de la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie ; mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d’affecter également les deux moitiés contiguës du solide y est distribuée d’une manière contraire ; c’est-à-dire qu’en représentant par $\mathrm {F} x$ la température d’un point dont la distance au milieu de la ligne est $x,$ la température initiale du point opposé pour lequel la distance est $-x,$ a pour valeur $-\mathrm {F} x.$ Cette seconde question diffère très-peu de la précédente et pourrait être résolue par une méthode semblable : mais on peut aussi déduire la solution de l’analyse qui nous a servi à déterminer le mouvement de la chaleur dans les solides de dimensions finies.

Supposons qu’une partie ab de la barre prismatique infinie soit échauffée d’une manière quelconque, voy. fig. (16) et que la partie opposée aβ soit dans un état pareil, mais de signe contraire ; tout le reste du solide ayant la température initiale 0. On suppose aussi que le milieu environnant est entretenu à la température constante 0, et qu’il reçoit de la barre ou leur communique la chaleur par la surface extérieure. Il s’agit de trouver quelle sera, après un temps donné